"무한대 이상으로!"
"토이 스토리"영화의 버즈 라이트 이어의 유명한 캐치 프레이즈에 대해 깊이 생각해 보셨습니까? 아마 아닙니다. 그러나 때때로 당신은 밤하늘을 쳐다보고 무한의 본질에 대해 궁금해했을 것입니다.
무한대는 이상한 개념으로, 인간의 두뇌가 제한된 이해를 둘러싼 어려움을 겪고 있습니다. 우리는 우주가 무한 할 수 있다고 말하지만 실제로 영원히 계속 될 수 있습니까? 또는 소수점 이하 pi의 자릿수-실제로 끝없이 실행되어 원의 둘레와 반지름 사이의 비율에 대해 훨씬 더 정밀한 정보를 제공합니까? 그리고 버즈가 옳을 까? 무한대 이상의 것이 있습니까?
Live Science는 이러한 사고 방식을 고수하기 위해 필라델피아의 펜실베이니아 대학 (University of Pennsylvania)의 헨리 토 우즈 너 (Henry Towsner)의 도움을 받았습니다. (주의 : 까다로울 것입니다.)
인피니티 (Infinity)는 이상한 장소에 앉아 있다고 말했다. 대부분의 사람들은 개념에 대해 약간의 직관을 갖고 있다고 생각하지만, 생각하면할수록 더 이상해 보인다.
반면에 수학자들은 무한대 자체를 개념으로 생각하지 않는다고 덧붙였다. 오히려 그들은 다양한 측면을 얻기 위해 서로 다른 방식으로 생각합니다.
예를 들어 무한대의 크기가 다릅니다. 스코틀랜드의 세인트 앤드류 대학교 (St Andrews University)의 역사에 따르면 이것은 1800 년대 후반 독일의 수학자 게오르그 칸토 (Georg Cantor)에 의해 입증되었습니다.
캔터는 자연수, 즉 1, 4, 27, 56 및 15,687과 같은 전체 양수가 영원히 계속된다는 것을 알고있었습니다. 교육 만화가 Charles Fisher Cooper의 역사, 수학 및 기타 주제에 대한 유용한 사이트에 따르면 그것들은 무한하며, 우리가 물건을 계산하는 데 사용하는 것이기도합니다.
셀 수없이 많은 수의 그룹에는 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다. 예를 들어 짝수 (2, 4, 6 등)도 셀 수없이 무한합니다. 그리고 자연수의 전체 집합에 포함되는 것의 절반은 기술적으로 절반이지만 여전히 같은 종류입니다.
다시 말해, 모든 짝수와 모든 자연수를 나란히 두 열에 배치 할 수 있으며 두 열 모두 무한대로 이동하지만 무한대와 동일한 "길이"입니다. 즉, 셀 수있는 무한대의 절반은 여전히 무한대입니다.
그러나 Cantor의 위대한 통찰력은 셀 수없이 무한한 다른 숫자들이 있다는 것을 깨달았습니다. pi와 같은 분수 및 비이성적 인 숫자뿐만 아니라 자연수를 포함하는 실수는 자연수보다 더 무한합니다. (Cantor가 어떻게했는지 알고 수학적 표기법을 처리 할 수있는 방법을 원한다면 University of Maine에서이 워크 시트를 확인하십시오.)
모든 자연수와 모든 실수를 두 열로 나란히 정렬하면 실수는 자연수의 무한대를 넘어 확장됩니다. 쿠퍼에 따르면 캔터는 나중에 무한에 관한 그의 연구와 관련이없는 이유로 미쳤다고한다.
계산은 무엇입니까?
다시 무한대를 세는 문제로 돌아갑니다. Towsner는 "수학이 요구하는 것은 '무엇을 의미합니까?'입니다. "무한대 과거를 세는 것은 무엇을 의미합니까?"
문제를 해결하기 위해 Towsner는 서수에 대해 이야기했습니다. 세트에 몇 개의 물건이 있는지를 알려주는 기수 (1, 2, 3 등)와 달리 서수는 위치 (첫 번째, 두 번째, 세 번째 등)에 의해 정의되며 다음과 같이 수학에 도입되었습니다. 수학 웹 사이트 Wolfram MathWorld에 따르면 Cantor.
서수에는 그리스 문자 ω로 표시되는 오메가라는 개념이 있다고 Towsner는 말했다. 기호 ω는 다른 모든 자연수 뒤에 오는 것으로 정의되거나 Cantor가 호출 한 첫 번째 무한 서수입니다.
그러나 숫자에 관한 것 중 하나는 항상 끝에 다른 것을 추가 할 수 있다는 것입니다. 따라서 ω + 1, ω + 2, 심지어 ω + ω와 같은 것이 있습니다. (당신이 궁금해하는 경우 궁극적으로 셀 수없는 첫 번째 서수라고 알려진 ω1이라는 숫자를 누르십시오.)
그리고 계산은 추가 숫자를 추가하는 것과 비슷하기 때문에 이러한 개념을 사용하면 과거의 무한대를 계산할 수 있습니다.
이 모든 것의 이상은 수학자들이 그들의 용어를 엄격하게 정의 할 것을 주장하는 이유의 일부라고 덧붙였다. 모든 것이 정돈되어 있지 않다면 정상적인 인간 직감을 수학적으로 증명할 수있는 것과 분리하는 것은 어렵습니다.
Towsner는 "수학은 '심층적으로 조사하고있는 것은 무엇입니까?'라고 말합니다.
우리에게는 단순한 필사자들에게 이러한 아이디어를 완전히 계산하기가 어려울 수 있습니다. 일하는 수학자들은 일상 연구에서이 재미있는 사업을 어떻게 다룰까요?
Towsner는“많은 것이 실습이다. "당신은 노출로 새로운 직관을 개발하고, 직관이 실패하면 '우리는이 정확한 단계별 엄격한 증거에 대해 이야기하고 있습니다.' 따라서이 증거가 놀랍다면 여전히 정확한지 확인한 다음 그 주위에 새로운 직관을 개발하는 법을 배울 수 있습니다. "
