물리학 적 감각은 캐스트 오프의 속도가 탈출 속도라는 것을 말해줍니다.
이 최소화는 소행성 시스템의 총 에너지 변화와 방출 된 물질의 에너지에 대한 방출 된 물질의 비율로 더 잘 작동 할 수 있습니다. 로켓 방정식은 도움이됩니다. 로켓 방정식은 다음과 같이 운동량 결과를 보존합니다.
d (mv) / dt = 0 —> (m –? m) (v +? v) –? mV = 0
여기서 V는 반응 질량 속도이고, Δv 및 Δm은 "로켓"의 속도 및 질량 손실의 변화이거나,이 경우 소행성이며, m 및 v는 물체의 초기 질량 및 속도이다. v = 0으로 설정하고
? v = V (? m / m)
적분 된 속도는 v = Vln (m_i / m_f)이며, m_i의 초기 질량이고 m_f의 최종 질량입니다. 질량의 변화가 작다면
v ~ = V (m_i / m_f – 1)
그리고 마지막 소행성의 운동량은 p ~ = V (m_i – m_f)입니다. 이제 V = u – v_e, v_e는 탈출 속도, u는 물체의 속도를 버리게합니다. 이것은 V가 "무한에서"캐스트 된 물체의 속도를 의미합니다.
이제 주어진 운동 에너지 E = (1/2)? mu ^ 2에 대해 소행성 K = (1/2) p ^ 2 / m_f의 운동 에너지를 최소화한다고 가정합니다. 우리는 무 차원 비율을 구성합니다.
R = p ^ 2 / m_f / (? mu ^ 2 / = (p / u) ^ 2 / (? mm_f) = (? m / m_f) (1 – v_e / u) ^ 2.
BTW는 무 차원 비율로 작업하는 것이 중요합니다. 따라서 우리는 주어진? m에 대해 이것을 최소화하고 u를 계산합니다. 그래서 우리는 최소화
F (u) = (1 – v_e / u) ^ 2, —> dF (u) / du = -2 (1 – v_e / u) * v_e / u ^ 2,
그리고 이것은 v_e = u에서 0입니다. 로켓 방정식 공식을 감안할 때 약간 이상한 것처럼 보이지만 아래에서 이에 대해 논의 할 것입니다.
그런 다음 이차 미분 값을 사용하여 이것이 최대 값인지 최소값인지 확인합니다.
d ^ 2F (u) / du ^ 2 = 4 (1 – v_e / u) * (v_e / u ^ 2) ^ 2 – 2 (v_e / u ^ 2) ^ 2
u = v_e에서 -2 <0이므로 우리가 원하는 분입니다. u = v_e가 질량에 부여 할 수있는 최소 운동 에너지라는 것도 분명합니다.
우리가 v ~ = V (m_i / m_f – 1)을 갖는 것은 이상하게 들립니다. V = u – v_e의 경우 u = v_e에서 0입니다. 그러나 u = v_e의 경우 캐스트 된 물체가 무한대에 도달 할 때까지 소행성이 밖으로 이동합니다. 이를 수행하는 목적은 소행성의 변위를 생성하는 것이며, 캐스트 된 물체가 "무한대"에 도달하면 소행성이 변위 거리에 도달하게됩니다.
LC
