수학자 팀이 방금 160 년 된 백만 달러짜리 수학 문제에 답하기 위해 큰 걸음을 내딛었습니까?
아마도. 승무원은 숫자 이론이라는 분야에서 다른 여러 가지 작은 질문을 해결했습니다. 그리고 그렇게하면서 그들은 결국 옛 질문에 대한 답으로 이어질 수있는 오래된 길을 다시 열었습니다 : 리만 가설이 맞습니까?
레이 만 가설은 나머지 수학에 큰 영향을 미치는 기본적인 수학적 추측입니다. 그것은 다른 많은 수학적 아이디어의 기초를 형성하지만 그것이 사실인지 아무도 모릅니다. 그 유효성은 수학에서 가장 유명한 공개 질문 중 하나가되었습니다. 2000 년에 제기 된 7 개의 "밀레니엄 문제"중 하나이며,이를 해결하는 사람은 누구나 백만 달러를받을 것이라고 약속합니다. (이후 문제 중 하나만 해결되었습니다.)
이 아이디어는 어디에서 왔습니까?
1859 년에 Bernhard Riemann이라는 독일의 수학자가 특히 가시가 큰 수학 방정식에 대한 답을 제안했습니다. 그의 가설은 다음과 같습니다 : 리만 제타 함수의 모든 사소한 0의 실제 부분은 1/2입니다.. 그것은 매우 추상적 인 수학적 진술이며, 그 함수를 0으로 만들기 위해 특정 수학적 함수에 넣을 수있는 숫자와 관련이 있습니다. 그러나 가장 중요한 것은 무한대로 계산할 때 소수를 얼마나 자주 만날 지에 대한 질문과 관련하여 중요합니다.
나중에 가설의 세부 사항으로 돌아갑니다. 그러나 지금 알아야 할 중요한 것은 리만 가설이 사실이라면 수학에 관한 많은 질문에 답한다는 것입니다.
"수치 론에서 종종 일어나는 일은 Riemann 가설을 가정하면 모든 종류의 다른 결과를 입증 할 수있다"고 오하이오 주 오벌린 칼리지 (Oberlin College)의 수 이론가 인 롤라 톰슨 (Lola Thompson) 이 최신 연구에서 말했다.
그녀는 라이브 사이언스에 따르면 수 이론가들은 먼저 리만 가설이 사실이라면 무언가가 사실임을 증명할 것이라고 말했다. 그런 다음 그 증거를 좀 더 복잡한 증거를 향한 일종의 디딤돌로 사용할 것입니다. 이는 Riemann 가설이 참인지 아닌지에 대한 최초 결론이 참임을 나타냅니다.
그녀는이 트릭이 효과가 있다는 사실은 많은 수학자들에게 리만 가설이 사실이어야한다고 설득했다.
그러나 진실은 아무도 모른다는 것입니다.
증거를 향한 작은 발걸음?
그렇다면이 소규모 수학자 팀이 어떻게 우리를 해결책에 더 가깝게 만들었습니까?
Emory University의 수 이론가이자 새로운 증거의 공동 저자 인 Ken Ono는 "우리의 논문에서 수행 한 작업은 Riemann 가설과 동등한 매우 기술적 기준을 다시 검토 했는가? "우리는이 기준의 큰 덩어리를 증명했습니다."
이 경우 "리만 가설과 동등한 기준"은 수학적으로 리만 가설과 동등한 별도의 진술을 의미합니다.
두 진술이 왜 그렇게 연결되어 있는지는 처음에는 분명하지 않습니다. (이 기준은 "Jensen 다항식의 과장 성 (hyperbolicity of Jensen polynomials)"과 관련이 있습니다.) 1920 년대에 George Pólya라는 헝가리 수학자는이 기준이 참이면 리만 가설이 참임을 입증했습니다. 그것은 가설을 증명하기 위해 제안 된 오래된 길이지만, 대부분 버려진 것입니다.
Ono와 그의 동료들은 PNAS (National Academy of Sciences) 저널에 5 월 21 일에 발간 된 논문에서 많은 경우에 그 기준이 참임을 입증했습니다.
그러나 수학에서는 많은 것이 증거로 간주하기에 충분하지 않습니다. 기준이 참인지 거짓인지 모르는 경우가 여전히 있습니다.
오노는“이것은 백만 개의 파워 볼을하는 것과 같다. "그리고 당신은 마지막 20을 제외한 모든 숫자를 알고 있습니다. 마지막 20 개의 숫자 중 하나라도 틀리면 잃어 버릴 것입니다.…
연구자들은 모든 경우에 기준이 사실임을 입증하기 위해 더욱 진보 된 증거를 제시해야하므로 리만 가설을 입증 할 수있다. 그리고 그러한 증거가 얼마나 멀리 있는지는 확실하지 않다고 Ono는 말했다.
이 논문은 얼마나 큰 거래입니까?
리만 가설의 관점에서, 이것이 얼마나 큰 일인지 말하기는 어렵습니다. 다음에 일어날 일에 많이 의존합니다.
"이것은 리만 가설의 많은 등가 공식 중 하나 일뿐"이라고 톰슨은 말했다.
다시 말해,이 기준과 마찬가지로 리만 가설이 그 자체로 입증 된 경우에 해당한다는 가설을 입증 할 수있는 다른 아이디어가 많이 있습니다.
"그러므로 한 방향으로 진행 되었기 때문에 이것이 얼마나 진행되고 있는지 알기가 매우 어렵습니다. 그러나이 방향으로 리만 가설을 도출 할 수없는 등가 공식이 너무 많습니다. 누군가가 그 중 하나를 증명할 수 있다면, 다른 동등한 이론이 대신 가능할 것”이라고 Thompson은 말했다.
만약 그 증거가이 선로를 따라 나 간다면, Ono와 그의 동료들은 리만 가설을 풀기위한 중요한 기본 틀을 개발했을 것입니다. 그러나 그것이 다른 곳에서 발견된다면,이 논문은 덜 중요한 것으로 판명 될 것입니다.
여전히 수학자들은 감동을받습니다.
팀 리서치에 관여하지 않은 프린스턴 수 이론가 Encrico Bombieri는 5 월 23 일 PNAS 논문에서 "리만 가설을 입증하는 것과는 거리가 멀지 만 큰 진전"이라고 밝혔다. "이 논문이 수학 물리학뿐만 아니라 다른 수 이론의 다른 영역에서 더 근본적인 연구를 고무 할 것이라는 데는 의심의 여지가 없다"
(Bombieri는 1974 년 리만 가설과 관련된 작업으로 수학 분야에서 가장 유명한 상인 Fields Medal을 수상했습니다.)
Riemann 가설은 무엇을 의미합니까?
나는 우리가 이것으로 돌아갈 것이라고 약속했다. 여기에 리만 가설이 있습니다. 리만 제타 함수의 모든 사소한 0의 실제 부분은 1/2입니다..
Thompson과 Ono가 어떻게 설명했는지에 따라 그 내용을 정리해 봅시다.
첫째, 리만 제타 기능은 무엇입니까?
수학에서 함수는 다른 수학적 양 사이의 관계입니다. 간단한 것은 다음과 같습니다 : y = 2x.
리만 제타 함수는 동일한 기본 원리를 따릅니다. 훨씬 더 복잡합니다. 그 모습은 다음과 같습니다.
무한 시퀀스의 합입니다. 첫 번째 항은 1 / 1 ^ s, 1 / 2 ^ s 및 1 / 3 ^ s 인 각 항이 이전 항에 추가됩니다. 그 타원은 함수의 시리즈가 계속 그렇게 계속되는 것을 의미합니다.
이제 우리는 두 번째 질문에 답할 수 있습니다 : 리만 제타 함수의 0은 무엇입니까?
이것은 더 쉽다. 함수의 "0"은 x에 대해 넣을 수있는 숫자로, 함수가 0이됩니다.
다음 질문 : 그 0 중 하나의 "실제 부분"은 무엇이며, 1/2과 같다는 것은 무엇을 의미합니까?
리만 제타 함수는 수학자들이 "복소수"라고 부르는 것을 포함합니다. 복소수는 다음과 같습니다 : a + b * i.
이 방정식에서 "a"및 "b"는 모든 실수를 나타냅니다. 실수는 마이너스 3에서 0까지, 4.9234, pi 또는 10 억까지 될 수 있습니다. 그러나 또 다른 종류의 숫자가 있습니다 : 허수. 음수의 제곱근을 취하면 허수가 나타나며, 모든 종류의 수학적 상황에서 중요합니다.
가장 간단한 허수는 -1의 제곱근이며 "i"로 표시됩니다. 복소수는 실수 ( "a")에 다른 실수 ( "b") 곱하기 i를 더한 값입니다. 복소수의 "실제 부분"은 "a"입니다.
-10과 0 사이의 음의 정수인 Riemann zeta 함수의 영 (0)은 Reimann 가설에 포함되지 않습니다. 이것들은 복소수가 아닌 실수이기 때문에 "사소한"0으로 간주됩니다. 다른 모든 0은 "사소하지 않은"숫자와 복소수입니다.
리만 가설은 리만 제타 함수가 0을 교차 할 때 (-10과 0 사이의 0을 제외하고) 복소수의 실수 부분이 1/2과 같아야한다는 것을 나타냅니다.
그 작은 주장은 그리 중요하지 않을 수도 있습니다. 하지만 그것은. 그리고 우리는 그것을 해결하는 것에 조금 더 가까울 수 있습니다.
